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L'Algoritmo Diffie And Hellman

La crittografia simmetrica come sappiamo aveva un enorme problema: lo scambio sicuro della chiave simmetrica

Questo problema, apparentemente impossibile, è stato risolto nel 1976 da Whitfield Diffie e Martin Hellman grazie al loro rivoluzionario Protocollo di scambio delle chiavi Diffie-Hellman.

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La Base del Funzionamento: il Logaritmo Discreto

Nel caso di Diffie-Hellman come funzione si usa l'elevamento a potenza in aritmetica modulare.

L'operazione matematica unidirezionale alla base di Diffie-Hellman è la seguente: dati un numero base g, un esponente x e un modulo primo p, è molto facile calcolare:

Y = g^x \pmod p

Tuttavia, se conosciamo solo Y, g e p, trovare l'esponente x è un problema computazionalmente complesso quando i numeri sono molto elevati. Questo problema prende il nome di Problema del Logaritmo Discreto.

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Il Funzionamento dell'Algoritmo

Vediamo come si svolge lo scambio numerico tra Alice e Bob.

1 - Scelta di p e r

Vengono scelti due numeri noti a entrambi gli utenti:

• p: Un numero primo elevato e crittograficamente sicuro.
• g: Un intero chiamato generatore (o base), che è una radice primitiva di p.

2 - Calcolo della chiavi dell'utente 1 (Alice)

• L'utente Alice sceglie un numero intero segreto a (la sua chiave privata) e poi calcola la sua chiave pubblica kpbA e la invia a Bob:

  kpb = g^a \pmod p

• L'utente Bob riceve i dati e sceglie un numero intero segreto b (la sua chiave privata). Poi calcola la sua chiave pubblica kpbB e la invia ad Alice:

  kpb = g^b \pmod p

Calcolo della chiave condivisa

Ciascuno dei due unisce la chiave pubblica ricevuta con la propria chiave privata.

• Alice riceve kpbB e calcola la chiave segreta K:

  K = B^a \pmod p

• Bob riceve kpbA e calcola la chiave segreta K:

  K = A^b \pmod p

Dimostrazione dell'uguaglianza delle chiavi

Sostituiamo le definizioni di A e B nelle formule del segreto condiviso:

• Per Alice: K = B^a \pmod p = (g^b)^a \pmod p = g^{ba} \pmod p
• Per Bob: K = A^b \pmod p = (g^a)^b \pmod p = g^{ab} \pmod p

Poiché nell'esponente la proprietà commutativa della moltiplicazione è valida (ab = ba), ne consegue che:

g^{ab} \pmod p = g^{ba} \pmod p

Alice e Bob hanno calcolato lo stesso identico numero K. Questo numero verrà ora utilizzato come chiave simmetrica per cifrare il resto della loro sessione di comunicazione.

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Esempio Didattico con Valori Ristretti

Proviamo il protocollo con cifre contenute:

1. Parametri Pubblici: Scegliamo il numero primo p = 23 e il generatore g = 5.
2. Alice:
   • Sceglie il segreto privato a = 6.
   • Calcola la chiave pubblica: A = 5^6 \pmod{23} = 15625 \pmod{23} = 8.
   • Invia A = 8 a Bob.
3. Bob:
   • Sceglie il segreto privato b = 15.
   • Calcola la chiave pubblica: B = 5^{15} \pmod{23} = 19.
   • Invia B = 19 ad Alice.
4. Calcolo della chiave comune K:
   • Alice calcola: K = B^a \pmod{23} = 19^6 \pmod{23} = 2.
   • Bob calcola: K = A^b \pmod{23} = 8^{15} \pmod{23} = 2.

Entrambi hanno ottenuto autonomamente il numero 2. Un malintenzionato che ha ascoltato la conversazione conosce solo p=23, g=5, A=8, B=19, ma senza risolvere il logaritmo discreto non può risalire al valore 2.

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