# L'Algoritmo Diffie And Hellman

La crittografia simmetrica come sappiamo aveva un enorme problema: lo scambio sicuro della chiave simmetrica 

Questo problema, apparentemente impossibile, è stato risolto nel 1976 da Whitfield Diffie e Martin Hellman grazie al loro rivoluzionario **Protocollo di scambio delle chiavi Diffie-Hellman**.

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## La Base del Funzionamento: il Logaritmo Discreto

Nel caso di Diffie-Hellman come funzione si usa l'**elevamento a potenza in aritmetica modulare**.

L'operazione matematica unidirezionale alla base di Diffie-Hellman è la seguente: dati un numero base $g$, un esponente $x$ e un modulo primo $p$, è molto facile calcolare:

$$Y = g^x \pmod p$$

Tuttavia, se conosciamo solo $Y$, $g$ e $p$, trovare l'esponente $x$ è un problema computazionalmente complesso quando i numeri sono molto elevati. Questo problema prende il nome di **Problema del Logaritmo Discreto**.

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## Il Funzionamento dell'Algoritmo
Vediamo come si svolge lo scambio numerico tra Alice e Bob.

### 1 - Scelta di p e r
Vengono scelti due numeri noti a entrambi gli utenti:
* $p$: Un numero primo elevato e crittograficamente sicuro.
* $g$: Un intero chiamato *generatore* (o base), che è una radice primitiva di $p$.

### 2 - Calcolo della chiavi dell'utente 1 (Alice)
* L'utente **Alice** sceglie un numero intero segreto $a$ (la sua chiave privata) e poi calcola la sua chiave pubblica $kpbA$ e la invia a Bob:
    $$kpb = g^a \pmod p$$

* L'utente **Bob** riceve i dati e sceglie un numero intero segreto $b$ (la sua chiave privata). Poi calcola la sua chiave pubblica $kpbB$ e la invia ad Alice:
    $$kpb = g^b \pmod p$$

### Calcolo della chiave condivisa
Ciascuno dei due unisce la chiave pubblica ricevuta con la propria chiave privata.

* Alice riceve $kpbB$ e calcola la chiave segreta $K$:
    $$K = B^a \pmod p$$

* Bob riceve $kpbA$ e calcola la chiave segreta $K$:
    $$K = A^b \pmod p$$

### Dimostrazione dell'uguaglianza delle chiavi

Sostituiamo le definizioni di $A$ e $B$ nelle formule del segreto condiviso:
* Per Alice: $K = B^a \pmod p = (g^b)^a \pmod p = g^{ba} \pmod p$
* Per Bob: $K = A^b \pmod p = (g^a)^b \pmod p = g^{ab} \pmod p$

Poiché nell'esponente la proprietà commutativa della moltiplicazione è valida ($ab = ba$), ne consegue che:
$$g^{ab} \pmod p = g^{ba} \pmod p$$

Alice e Bob hanno calcolato lo stesso identico numero $K$. Questo numero verrà ora utilizzato come chiave simmetrica per cifrare il resto della loro sessione di comunicazione.

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## Esempio Didattico con Valori Ristretti

Proviamo il protocollo con cifre contenute:

1. **Parametri Pubblici:** Scegliamo il numero primo $p = 23$ e il generatore $g = 5$.
2. **Alice:**
   * Sceglie il segreto privato $a = 6$.
   * Calcola la chiave pubblica: $A = 5^6 \pmod{23} = 15625 \pmod{23} = 8$.
   * Invia $A = 8$ a Bob.
3. **Bob:**
   * Sceglie il segreto privato $b = 15$.
   * Calcola la chiave pubblica: $B = 5^{15} \pmod{23} = 19$.
   * Invia $B = 19$ ad Alice.
4. **Calcolo della chiave comune $K$:**
   * **Alice** calcola: $K = B^a \pmod{23} = 19^6 \pmod{23} = 2$.
   * **Bob** calcola: $K = A^b \pmod{23} = 8^{15} \pmod{23} = 2$.

Entrambi hanno ottenuto autonomamente il numero **2**. Un malintenzionato che ha ascoltato la conversazione conosce solo $p=23, g=5, A=8, B=19$, ma senza risolvere il logaritmo discreto non può risalire al valore 2.

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